如果有人要问我，在学习几何的这些年中，你见过的最美的几何定理是什么，我相信，斯坦纳链一定会列入候选之位。而且，不像其他令人惊叹的定理，如彭赛列闭合定理等，斯坦纳链的证明方法相比之下要简单许多，而且易于理解。所以，若要向其他人展示几何之美，我认为，斯坦纳连链是最合适的选择之一。

那么，什么是斯坦纳链呢？如下图，小圆内含于大圆，在某一位置做一个圆（1），同时与已知两圆相切（外切于小圆，内切于大圆）再做圆（2）同时与大圆，小圆和圆（1）相切，类似做圆（2），圆（3），直到圆（n）。一般的，圆（n）与圆（1）有三种关系：相离，相切，相交。斯坦纳链描述的就是，若圆（n）恰好与圆（1）相切，那么在两圆之间任意另做一个圆（1'）,如此再做到圆（n'），则圆（n'）也恰好与圆（1'）相切。

可以认为斯坦纳链在描述一个运动中的不变量，圆（1）运动时，其余各圆跟随运动，但相切的结论保持不变。一般的证明方法是利用反演变换，即把不同心的小圆和大圆反演为同心的情况，得到的反像中，圆（i）与圆（j）必定相等，这样就能够轻轻松松的让圆们转起来，就像滚珠轴承那样。这里不再赘述证明的详细步骤。

(相关资料图)

那么，为什么反演变换可以证明斯坦纳链呢？其本质在于，不经过反演中心的圆在反演后还是一个圆，且反演变换是一种“保形变换”，即变换前后个几何元素之间的关系保持不变。相切的圆反演后还是相切的圆。现在，我们大致认清了证明这个问题的思路：寻找某种“保形变换“同是圆在变换后还是圆，这样就有望将不同心的两圆变换为同心两圆，继而解决问题。可是，除了反演变换，真的还有其它的变换能满足以上要求吗？有！那就是“球极投影”。

如下图，球O与平面α切于S点，点S的对径点为点N，P为球面上任意一点，射线NP交平面α于Q点，那么，不与点N重合的所有点P，在平面上均有点Q与之对应。点Q称之为点P的球极投影。特殊地，我们定义点N的球极投影为平面上的无穷远点。这样，球面上所有的点都可以找到它的球极投影。

球极投影有一条很重要的性质：圆的球极投影还是圆。这是我们利用它证明问题的关键之一。下面我们来证明这条性质。如图我们在球面上做出一个圆，并做出它的球极投影，由对称性易得投出的曲线是轴对称图形，对称轴即为蓝色平面与灰色平面交点。

我们发现，现有的信息还不足以证明投影曲线是圆，毕竟，投影的位置并不那么“理想”，那么，有办法将投影的位置改变一下吗？有的。利用位似变换的性质，过圆心做与灰色平面α平行的平面β，则射线与平面β的相交得到的曲线a与球极投影曲线相似。我们只要证明曲线a是一个圆就可以了。

如上图，设Q为球面圆上的一点，NQ交平面β于点P ，易得曲线a与球面圆的交点为M，L，且M，L，球面圆圆心H三点共线（利用点，线，面的从属关系即可证明，篇幅原因不再赘述，读者可自证）由圆幂定理，只需证MH*HL=PH*HF=QH*HT,即证QPTR四点共圆（R为直线PM与曲线β的交点）

我们利用对视角相等证明这个共圆，即证∠QPM=∠QTR。又因为平面α∥灰色平面，于是绿色平面与两平面的交线平行，∠QPM=角QVU。于是我们只需证UVQT四点共圆。现在，问题被我妈转化成了一个很简单的平面几何问题。如下图，我们把视角转换为正对绿色平面。

做QW平行于PR，利用共圆得到的对视角相等可得所有橙色角相等，于是我们证出了UVQT四点共圆，也即证明了曲线β是圆。

球极投影的第二个关键性质是“保形”性，这里我们不用证明一般的保形性，只需要证明投影前后两圆的位置关系不变即可。由不同位置关系的两圆有不同的交点个数，根据球极投影是一一映射，不难得到投影圆与球面圆的交点个数相等，这样就间接说明了这个性质。

现在，我们里成功证明问题只差一步之遥：是否所有不同心的内含两圆都可以找到一个球，使得在其经过球极变换的逆变换后，在球面上得到两圆心连线过球心（类似于平面上的同心）的两圆呢？

我们先考虑在球面上，这样的两圆具有什么性质。如图，我们任作一平面与两圆交于ABCD四点，点E在平面与球的交线上，由圆的性质可得∠AEB=∠CED。庆幸的是，我们只需要这个简单的性质，为了方便我们称其为性质1。

如下图，平面上有两个内含的圆，在其圆心连线上构造南极点S以及与平面相切的球O，那么，将两圆投影到球O表面后，两圆圆心连线过球心的充要条件即∠ENG=∠HNI。由点N的定义可知N在过两圆圆心连线，垂直于灰色平面的青色平面中，那么，对于任意内含两圆是否都存在这样的点N呢？

答案是存在的，我们利用极线思想来证明这个问题。我们将视角正对青色平面，为了方便研究，现将点N固定在以EI为直径的圆上。如下图，当N无限靠近点I时，∠HNI趋于90°（由切线），而∠ENG趋于0°，∠ENG＜∠HNI，当N无限趋于点E时，类似的，有∠ENG＞∠HNI，又因为点N从E到I的变化是连续的，那么在圆上就一定存在一点N使得∠ENG=∠HNI。这样，我们便证明了点N的存在性，虽然不是很严谨，但还是很直观的。

终于，万事俱备，我们可以着手证明斯坦纳链了。考虑某个满足存在一个初始圆，使得圆（n）与初始圆相切的两圆，若两圆同心，则显然任意另取一个初始圆，结论仍成立。因为两圆间不同位置的圆大小相等，圆们可以转起来。若不同心，则由球极投影的逆投影的“保圆性”，可将两圆投射成在球面上的，圆心连线过球心的两圆，由“保形性”，圆（i）（i=2，3，...，n-1）与两圆及圆（i-1），圆（i+1）均相切，且初始圆与圆（n）相切。由性质1及等角对等弧对等边，可得圆（i）（i=1，2，3，...，n）半径相等，虽然现在两圆并不同心（因为不在同一平面）但由于圆（i）在运动中半径不变，不影响圆们能够转起来，于是，在球上的投影中，改变初始圆位置，相切的结论不变，由保形性，在平面中，初始圆位置改变，相切的结论不变。至此，我们成功的证明了斯坦纳链。